# 기억 시스템의 수학적 모델

## 엔트로피 기반 기억 관리

### 정보 엔트로피 계산

기억의 중요도를 정보 이론의 엔트로피로 측정합니다.

```python
import numpy as np
from scipy.stats import entropy

class MemoryEntropy:
    def calculate_information_entropy(self, memory_item):
        """
        Shannon 엔트로피를 이용한 정보량 계산
        H(X) = -Σ p(xi) * log2(p(xi))
        """
        # 메모리 항목의 특징 분포
        features = self.extract_features(memory_item)
        probabilities = self.normalize_distribution(features)
        
        # 엔트로피 계산
        H = -np.sum(probabilities * np.log2(probabilities + 1e-10))
        
        return H
    
    def calculate_relative_entropy(self, memory_new, memory_context):
        """
        KL-Divergence를 이용한 상대적 중요도
        D_KL(P||Q) = Σ P(i) * log(P(i)/Q(i))
        """
        p = self.get_distribution(memory_new)
        q = self.get_distribution(memory_context)
        
        return entropy(p, q)
    
    def information_gain(self, memory_before, memory_after):
        """
        새로운 정보가 추가한 가치 측정
        IG = H(before) - H(after|new_info)
        """
        h_before = self.calculate_information_entropy(memory_before)
        h_after = self.calculate_information_entropy(memory_after)
        
        return h_before - h_after
```

### 시간 감쇠 함수

에빙하우스 망각 곡선을 기반으로 한 기억 감쇠 모델:

```python
class ForgettingCurve:
    def __init__(self):
        self.initial_strength = 1.0
        self.decay_rate = 0.5
        
    def memory_strength(self, time_elapsed, repetitions=0):
        """
        S(t) = S0 * exp(-λt) * (1 + α * log(1 + repetitions))
        
        S(t): 시간 t에서의 기억 강도
        S0: 초기 기억 강도
        λ: 감쇠율
        α: 반복 학습 효과 계수
        """
        base_decay = self.initial_strength * np.exp(-self.decay_rate * time_elapsed)
        repetition_bonus = 1 + 0.2 * np.log(1 + repetitions)
        
        return base_decay * repetition_bonus
    
    def optimal_review_time(self, target_retention=0.9):
        """
        목표 기억률을 유지하기 위한 최적 복습 시점
        t_optimal = -ln(target_retention) / λ
        """
        return -np.log(target_retention) / self.decay_rate
```

## 베이지안 기억 우선순위

### 베이지안 추론 모델

기억의 미래 유용성을 베이지안 추론으로 예측:

```python
class BayesianMemoryPriority:
    def __init__(self):
        self.prior_probabilities = {}
        self.likelihood_matrix = {}
        
    def calculate_posterior(self, memory_item, context):
        """
        베이즈 정리: P(A|B) = P(B|A) * P(A) / P(B)
        
        P(유용|맥락) = P(맥락|유용) * P(유용) / P(맥락)
        """
        prior = self.get_prior(memory_item)
        likelihood = self.get_likelihood(context, memory_item)
        evidence = self.get_evidence(context)
        
        posterior = (likelihood * prior) / (evidence + 1e-10)
        return posterior
    
    def update_beliefs(self, observation):
        """
        온라인 베이지안 업데이트
        P_new(θ) ∝ P(data|θ) * P_old(θ)
        """
        for memory_id, memory in self.memories.items():
            old_prior = self.prior_probabilities.get(memory_id, 0.5)
            likelihood = self.compute_likelihood(observation, memory)
            
            # 베이지안 업데이트
            new_prior = likelihood * old_prior
            
            # 정규화
            self.prior_probabilities[memory_id] = new_prior / sum(self.prior_probabilities.values())
    
    def predict_utility(self, memory_item, future_contexts):
        """
        미래 맥락에서의 기억 유용성 예측
        U(m) = Σ P(c) * V(m, c)
        """
        utility = 0
        for context, prob in future_contexts.items():
            value = self.calculate_value(memory_item, context)
            utility += prob * value
        
        return utility
```

## 그래프 기반 연상 기억

### 의미 네트워크 구조

```python
import networkx as nx

class SemanticMemoryGraph:
    def __init__(self):
        self.graph = nx.DiGraph()
        self.activation_threshold = 0.3
        
    def add_memory(self, memory_id, content, embeddings):
        """노드로 기억 추가"""
        self.graph.add_node(
            memory_id,
            content=content,
            embedding=embeddings,
            activation=0.0,
            last_accessed=time.time()
        )
    
    def create_association(self, memory1, memory2, strength):
        """연관성 엣지 생성"""
        self.graph.add_edge(
            memory1, memory2,
            weight=strength,
            co_activation_count=0
        )
    
    def spreading_activation(self, source_memory, decay=0.8):
        """
        활성화 확산 알고리즘
        A(n) = Σ w(m,n) * A(m) * decay^d(m,n)
        """
        activation = {source_memory: 1.0}
        visited = set()
        queue = [(source_memory, 1.0, 0)]
        
        while queue:
            current, current_activation, depth = queue.pop(0)
            
            if current in visited:
                continue
            visited.add(current)
            
            # 이웃 노드로 활성화 전파
            for neighbor in self.graph.neighbors(current):
                edge_weight = self.graph[current][neighbor]['weight']
                new_activation = current_activation * edge_weight * (decay ** depth)
                
                if new_activation > self.activation_threshold:
                    activation[neighbor] = max(
                        activation.get(neighbor, 0),
                        new_activation
                    )
                    queue.append((neighbor, new_activation, depth + 1))
        
        return activation
    
    def retrieve_associated_memories(self, query_memory, top_k=5):
        """연상 기억 검색"""
        activations = self.spreading_activation(query_memory)
        
        # 활성화 강도순 정렬
        sorted_memories = sorted(
            activations.items(),
            key=lambda x: x[1],
            reverse=True
        )
        
        return sorted_memories[:top_k]
```

## 계층적 시간 기억 (HTM)

### Hierarchical Temporal Memory 구현

```python
class HierarchicalTemporalMemory:
    def __init__(self, input_size, column_count, cells_per_column):
        self.input_size = input_size
        self.column_count = column_count
        self.cells_per_column = cells_per_column
        
        # 시냅스 연결 강도
        self.proximal_synapses = np.random.rand(column_count, input_size)
        self.distal_synapses = np.zeros((column_count, cells_per_column, column_count, cells_per_column))
        
    def spatial_pooling(self, input_vector):
        """
        공간 풀링: 입력을 희소 분산 표현으로 변환
        """
        # 각 컬럼의 overlap 계산
        overlaps = np.dot(self.proximal_synapses, input_vector)
        
        # 상위 k% 컬럼만 활성화 (희소성)
        k = int(0.02 * self.column_count)  # 2% 활성화
        active_columns = np.argpartition(overlaps, -k)[-k:]
        
        # 부스팅으로 사용 빈도 균등화
        boost_factors = self.calculate_boost(active_columns)
        overlaps *= boost_factors
        
        return active_columns
    
    def temporal_memory(self, active_columns, previous_state):
        """
        시간 기억: 시퀀스 학습과 예측
        """
        predicted_cells = []
        active_cells = []
        
        for col in active_columns:
            # 예측된 셀이 있으면 활성화
            if self.has_predicted_cell(col, previous_state):
                active_cells.append(self.get_predicted_cell(col))
            else:
                # 버스트: 모든 셀 활성화
                for cell in range(self.cells_per_column):
                    active_cells.append((col, cell))
            
            # 다음 상태 예측
            predicted_cells.extend(self.predict_next_cells(col))
        
        return active_cells, predicted_cells
    
    def learn_sequence(self, sequence):
        """시퀀스 패턴 학습"""
        previous_state = None
        
        for item in sequence:
            active_columns = self.spatial_pooling(item)
            active_cells, predicted = self.temporal_memory(active_columns, previous_state)
            
            # 시냅스 강화
            self.reinforce_synapses(active_cells, predicted)
            previous_state = active_cells
```

## 압축 기억 모델

### 정보 압축과 복원

```python
class CompressiveMemory:
    def __init__(self, compression_ratio=0.1):
        self.compression_ratio = compression_ratio
        self.dictionary = {}  # 압축 사전
        
    def compress_memory(self, memory_stream):
        """
        PCA 기반 차원 축소로 기억 압축
        """
        from sklearn.decomposition import PCA
        
        # 원본 차원
        original_dim = memory_stream.shape[1]
        compressed_dim = int(original_dim * self.compression_ratio)
        
        # PCA 압축
        pca = PCA(n_components=compressed_dim)
        compressed = pca.fit_transform(memory_stream)
        
        # 복원을 위한 정보 저장
        self.dictionary['pca'] = pca
        self.dictionary['original_dim'] = original_dim
        
        # 압축률과 정보 손실 계산
        reconstruction_error = self.calculate_reconstruction_error(
            memory_stream, 
            pca.inverse_transform(compressed)
        )
        
        return compressed, reconstruction_error
    
    def adaptive_compression(self, memory, importance_score):
        """
        중요도에 따른 적응적 압축
        높은 중요도 = 낮은 압축률
        """
        adaptive_ratio = self.compression_ratio * (2 - importance_score)
        adaptive_ratio = np.clip(adaptive_ratio, 0.05, 0.95)
        
        return self.compress_with_ratio(memory, adaptive_ratio)
    
    def hierarchical_compression(self, memories):
        """
        계층적 압축: 자주 접근하는 기억은 덜 압축
        """
        layers = {
            'hot': 0.9,   # 거의 압축 안함
            'warm': 0.5,  # 중간 압축
            'cold': 0.1   # 높은 압축
        }
        
        compressed_memories = {}
        for memory_id, memory_data in memories.items():
            access_frequency = self.get_access_frequency(memory_id)
            
            if access_frequency > 10:
                layer = 'hot'
            elif access_frequency > 3:
                layer = 'warm'
            else:
                layer = 'cold'
            
            compressed_memories[memory_id] = self.compress_with_ratio(
                memory_data, 
                layers[layer]
            )
        
        return compressed_memories
```

## 양자 기억 모델 (실험적)

### 양자 중첩 상태 기억

```python
class QuantumMemory:
    """
    양자 컴퓨팅 원리를 적용한 기억 모델
    여러 상태를 동시에 유지
    """
    
    def __init__(self):
        self.superposition_states = {}
        self.entangled_memories = {}
        
    def create_superposition(self, memory_states):
        """
        여러 가능한 기억 상태의 중첩
        |ψ⟩ = α|0⟩ + β|1⟩ + γ|2⟩ + ...
        """
        amplitudes = self.normalize_amplitudes(memory_states)
        
        superposition = {
            'states': memory_states,
            'amplitudes': amplitudes,
            'coherence': 1.0  # 결맞음 정도
        }
        
        return superposition
    
    def quantum_entanglement(self, memory1, memory2):
        """
        기억 간 양자 얽힘
        한 기억의 관측이 다른 기억에 즉시 영향
        """
        entangled_state = {
            'memory_pair': (memory1, memory2),
            'correlation_matrix': self.calculate_correlation(memory1, memory2),
            'bell_state': self.create_bell_state(memory1, memory2)
        }
        
        self.entangled_memories[(memory1.id, memory2.id)] = entangled_state
        
    def collapse_wavefunction(self, superposition, observation):
        """
        관측 시 파동함수 붕괴
        확률적으로 하나의 상태로 수렴
        """
        probabilities = np.abs(superposition['amplitudes']) ** 2
        collapsed_state = np.random.choice(
            superposition['states'],
            p=probabilities
        )
        
        return collapsed_state
```

## 성능 메트릭

### 기억 시스템 평가 지표

```python
def evaluate_memory_system(memory_system):
    metrics = {
        'recall_precision': calculate_precision(memory_system),
        'recall_speed': measure_retrieval_time(memory_system),
        'storage_efficiency': calculate_compression_ratio(memory_system),
        'association_accuracy': test_association_strength(memory_system),
        'temporal_coherence': measure_sequence_prediction(memory_system),
        'information_retention': calculate_retention_rate(memory_system)
    }
    
    # 종합 점수
    overall_score = np.mean(list(metrics.values()))
    
    return metrics, overall_score
```